“这个发现将中国古代对正负数的认识与实际运用时间提早到了战国晚期，是数学发展史研究的一大收获。”11月13日，西北大学博士生李振飞告诉记者，神禾原战国秦陵墓出土的象牙算筹主要有红白筹和红黑筹两类颜色，这与《九章算术》刘徽注释中提到的古代用于正负数运算的“赤黑算”也许有关，应是此类计算工具的早期形态。据了解，就此项研究成果，由李振飞和陕西师范大学历史文化学院郭妍利合著的论文已经发表在《考古与文物》刊物上。

战国秦陵园出土

神奇彩色算筹

象牙算筹出土于神禾原战国秦陵园，位于陕西省西安市南郊，2004—2008年间，陕西省考古研究院在此进行了多年的发掘工作，揭露了一座由亚字形大墓、兆沟、垣墙、从葬坑、建筑基址等构成的大型战国秦陵园遗址。陵墓虽遭严重的盗掘，但仍出土了较多重要文物，其中在直通大墓椁室的早期盗洞内发现一批制作精良的象牙算筹，筹身涂饰以红、黑色彩，此类形制未见于以往的考古发现及文献记载。

这批算筹均为象牙质地，长短、粗细几乎完全一致。多数完整，少数有不同程度的残断。牙筹整体呈细圆棒状，部分筹身两端微收窄，表面光滑，磨制精细，两端截面齐整。完整筹身通长为18.3-18.5厘米、直径0.49-0.54厘米，单体重5.7-7.7克。以完整的算筹（含粘接复原的个体）以及残余筹身长度大于完整器一半的断筹计数，该批算筹总数至少为61根。根据筹身彩绘及加工方式的不同，这批算筹可分为素白色、红白色、红黑色三种类型，另有两根残筹无法辨识。其中素白筹仅1根；红黑筹有28根，两端有各长3.4厘米的红褐色漆皮，脱落严重，筹身中段为黑色，颜色因保存状况不同深浅不一；红白筹30根，中段为象牙原色，两端为红褐色漆皮。后两类筹身两端红褐色漆皮段与中间段之间发现有一圈极细的刻槽分界线，两部分的界限十分整齐。

算筹的不同颜色

分别表示正负数

李振飞介绍说，原算筹作为古代生产生活的常用工具，应用广泛而持久，早在《论语》中即有记载，也被称为“筹”“算”“策”“筭（suàn）”等。它的材质并无严格的规定，有竹、木、骨、牙乃至金属筹，多在战国晚期至东汉的墓葬中有所发现。

首先从大小来看，算筹的大小在早期多随原材料的大小而定，后来随着经济发展和数学研究的进步，伴随着各类算书的出现而渐有制度，神禾原发现的算筹长度约合秦汉时期的八寸。由于算筹的材料、尺寸、形制均变化较大，不易识别，考古报告中对类似器物的叫法也有很多，比如“骨条”“竹棍”，甚至“竹筷”“箸”等。从算筹的数量来看，神禾原出土的30根红白筹、28根红黑筹具有计算意义上的实用性。

那么，如何推测出这个算筹可以计算负数？原因就是神禾原牙筹的色彩。这批牙筹最大的特征为其上的彩绘，筹身现存的涂色在视觉上表现为“红白”与“红黑”色。这和数学家的赤黑算十分相似，它就是用来计算正负数的工具。《九章算术》刘徽注中说“今两算得失相反”，说明至迟在魏晋时期使用红黑算筹来表示正负数、辅助正负数运算已成定式。

李振飞表示，用不同的颜色表示正负数，这个来源自《九章算术·方程》章中关于“正负术”的记载，被认为是中国最早对“负数”概念进行说明和使用的珍贵文献。魏晋时期的数学家刘徽对此注释有：“正算赤，负算黑，否则以邪正为异。”也就是说，进行正负数的计算时，用红色算筹代表正数，黑色算筹代表负数。而神禾原秦陵墓发现的红、黑彩算筹很可能与刘徽提到的赤黑算有关。

原来，负数概念的出现要早于抽象化的运算法则的确立。中国古代数学史研究专家李俨认为负数的产生不晚于秦代。这时的负数记录与使用方式与汉代算书中体系化的总结可能存在一定差异，最早的赤黑算应当就是两类形态有差别的算筹，用于指代不同的概念。因此，神禾原秦陵墓算筹组合可能是赤黑算的早期形态，是先秦时期正负数概念形成以及运算规则探索阶段的成果。

正负数概念提早至战国晚期

体现了我国古代数学的极高成就

那么，这样可以计算“正负数”的算筹当时主要用来做什么？李振飞介绍说，目前我国已知考古工作中最早发现的算筹实物是1954年湖南长沙左家山战国楚墓中出土的“竹签”，而神禾原战国秦陵墓墓主身份十分尊贵，算筹用来进行数学计算的可能性不大，更可能是作为管理记录其下属的功过或者对下属的赏罚等行为的计数工具。

不同颜色的算筹即代表实际生产生活中的“功”与“过”、“赏”与“罚”、“收”与“支”等。因而，李振飞表示，神禾原出土的涂色牙筹的确可能为刘徽所记述的用于表示正负数的赤黑算的前身。它是战国秦汉时期应用数学发展到一定程度的产物，也促进了这一时期数学中关于正负数计算的理论化、规则化。

这个新成果意义重大，体现了我国古代数学的极高成就。李振飞认为，“神禾原秦陵墓出土的涂色算筹将中国古代使用正负数概念进行运算的时间提早至战国晚期，比《九章算术》中记载的“正负术”早了200余年，比国外最早由古印度数学家在公元7世纪提出的正、负数的四则运算法早了800余年。”

文/张潇

编辑/倪家宁