赏读|几何学的力量
中信 2023-04-05 21:00

对像我这样的数学专业人士来说,当看到人们被互联网上的一道数学问题难住,一两天都不得其解时,这绝对是一大乐事。我们愿意看到其他人发现并享受我们一生都乐在其中的思维模式。如果你有一座非常漂亮的房子,那你肯定喜欢有人意外来访。

以这种方式出现的问题通常都是好问题,尽管它们一开始看起来可能很无聊。而吸引你注意力的东西是,那种与一个真正的数学问题不期而遇的感觉。

例如,一根吸管上有多少个洞?

我问过的大多数人都认为这个问题的答案显而易见。但是,在得知某些人眼中显而易见的答案与自己的答案不同时,他们都表现得非常惊讶,有时甚至有点儿愤愤不平。这是“You’ve got another think coming”(你错了,再好好想想吧)与“You’ve got another thing coming”(你还有一件事要做)的数学版辨误问题。

据我所知,“一根吸管上有多少个洞?”的问题最早出现在《澳大利亚哲学杂志》(Australasian Journal of Philosophy)于 1970 年刊登的一篇论文中,斯蒂芬妮·刘易斯和戴维·刘易斯夫妇在这篇文章中讨论的管状物是一个纸巾卷筒。2014 年,这个问题以民意调查的形式再次出现在一个健身论坛上。其争论的腔调与《澳大利亚哲学杂志》不同,但争议的内容是一样的。“0 个洞”、“1 个洞”和“2 个洞”的答案都得到了不少人的支持。

随后,Snapchat(色拉布,一款“阅后即焚”的照片分享应用)上出现了一段视频:因为 2 个洞和 1 个洞的争论,两名大学生好友变得火冒三丈、怒目相向。这段视频不断传播,最终的浏览量超过 150 万次。吸管问题在Reddit(红迪网,一家社交新闻网站)和推特上也风靡一时,还登上了《纽约时报》。BuzzFeed(一家新闻聚合网站)的一群年轻、有魅力的员工对这个问题备感困惑,他们为此拍摄了一段视频,也收获了几十万次的点击量。

你可能已经开始思考那几个主要的观点了,让我们把它们罗列出来吧:

0个洞:把一块长方形的塑料卷起来,然后用胶水将接口处粘住,一根吸管就做好了。长方形塑料上没有洞,当你把它卷起来时,也不会在上面留下任何洞。所以,它仍然没有洞。

1个洞:这个洞就是吸管的中空部分,从顶端一直延伸到底端。

2个洞:看一眼就知道了!吸管的顶端有1个洞,底端也有1个。

我的第一个目标是让你相信这些洞确实会让你感到困惑,即使你不这样认为。原因在于,上述三种观点都存在严重的问题。

我先来驳斥“0 个洞”观点的支持者。有些东西即使不被移除任何部分,也可以产生洞。做百吉圈(一种硬面包)时,我们并不是先做比亚利面包卷,然后在中间打洞,而是先把面团揉搓成蛇形,然后将其两端相连,百吉圈就做成了。如果你否认百吉圈上有个洞,那么毋庸置疑,你会遭到纽约、蒙特利尔和世界各地的任何一家正宗熟食店的嘲笑。

关于“2个洞”的观点呢?这里有一个问题要考虑:如果一根吸管上有2个洞,那么其中一个洞的洞底在哪里?另一个洞的洞口又在哪里?如果你不介意,可以想象有人让你数一块瑞士干酪上有多少个洞,你会分

别计数干酪顶部的洞和底部的洞吗?

或者,把吸管底端的洞堵住,这样一来,“2 个洞”观点的支持者所说的底端那个洞就消失了。从本质上讲,现在这根吸管变成了一个又高又细的杯子。杯子上有洞吗?是的,你会说它顶部的开口就是一个洞。好吧,如果这个杯子变得越来越短、越来越粗,最终变成一个烟灰缸呢?当然,我们不会把烟灰缸的上缘称作“洞”。但是,如果这个洞是在从杯子到烟灰缸的变化过程中消失的,那么它到底是何时消失的呢?

你可能会说,烟灰缸上仍然有 1 个洞,因为它有一个凹陷处或一个负空间,那里可以容纳物质,但实际上没有任何物质。你坚持认为洞不一定要“贯穿到底”,那你不妨“思考一下,我们说地上有个洞,是什么意思呢?”。这是一个公平合理的反对理由,但我认为,如果我们在什么算作洞的标准问题上过于宽松,而把任何凹陷都当成是洞,就会让这个概念失去有效性。当你说水桶上有个洞时,你指的并不是它的底部有个凹陷处,而是它会漏水。同样地,即使你在比亚利面包卷上咬一口,它也不会变成百吉圈。

至此,还剩下“1个洞”的观点,它是三个备选项中支持人数最多的一个。现在,让我来告诉你它有什么问题。当我问我的朋友凯利关于吸管的问题时,她直截了当地否定了“1个洞”的观点:“这是否意味着嘴巴和肛门是同一个洞?”(凯丽是一名瑜伽教练,所以她倾向于从解剖学的角度看问题。)毫无疑问,这是一个公平合理的问题。

但是,我们假设你有足够的勇气接受“嘴巴 = 肛门”这一等式。即便如此,挑战依然存在。下面是那两名大学生在Snapchat视频中的一个场景(不过说实在的,你还是自己去看吧,我无法通过文字和舞台指示完美地呈现出他们怒气越来越盛的过程),其中1号兄弟支持“1个洞”的观点,2号兄弟则支持“2个洞”的观点。

2号(拿起一个花瓶):这上面有多少个洞? 1个洞,对吧?

[1号默默地同意了。]

2号(拿起一个纸巾卷筒):这上面有多少个洞?

1号:1个。

2号:理由呢?(再次拿起那个花瓶)它们看上去一样吗?

1号:因为如果我在这里(在花瓶底部做了一个手势)打 1个洞,它还是只有 1个洞!

2号(被激怒了):你刚才说,如果我在这里打 1个洞。

[气得直喘粗气]

1号:如果我在这里再打 1个洞,它就有……

2号:对——再打 1个洞,加上这个洞,共有 2个洞!到此为止吧!

在这个场景中,支持“2个洞”观点的那位兄弟似乎表达了一个非常合情合理的原则:在某个物体上打一个新洞,洞的数量就应该增加一个。

我们再来看一个更难的题目:一条裤子上有多少个洞?大多数人给出的答案都是3个:裤腰上有1个洞,裤腿上有2个洞。如果你把裤腰缝合起来,就会得到一根由牛仔布做成的特大号吸管,上面还有一个弯儿。如果一开始有3个洞,你缝合其中的1个,应该还剩下2个而不是1个,对吧?

如果你坚持认为一根吸管上只有1个洞,那你也许会说一条裤子上只有2个洞。在你缝合裤腰之后,裤子上就只剩下1个洞了。这是我经常听到的答案,但这个答案与“一根吸管上有2个洞”的观点面临着同样的问题:如果一条裤子上有2个洞,它们在哪里?其中一个洞的洞底和另一个洞的洞口又在哪里?

或者,你可能认为一条裤子上只有1个洞,因为你所说的洞是指裤子内部的负空间区域。如果我把牛仔裤的膝盖部位撕破,制造出一个新洞,这样做会影响洞的数量吗?你坚持认为不会,裤子上仍然只有1个洞,人为地把牛仔裤撕破不过是给那个洞制造了一个新的开口。缝合裤腰或堵住吸管底端,并不会让洞消失,只是封闭了洞的出口或入口。

但这又把我们带回到不得不说烟灰缸上有1个洞的问题。更糟糕的是,假设我有一个膨胀的气球。根据你的说法,这个气球上有1个洞,即气球内部加压空气占据的区域。如果我拿一根大头针在气球上戳一个洞,气球就会爆炸,只留下一个橡胶圆盘,也许上面还有一个结,但显然没有洞。也就是说,某个东西上本来有1 个洞,你又在上面戳了1个洞后,它反而一个洞也没有了。

你现在感到迷惑不解了吗?我希望如此!数学无法确切地回答这个问题,因为它不能告诉你“洞”的词义(这取决于你和你使用的语言)。但它会告诉你有哪些意思是你能够表达的,这样至少可以避免你被自己的假设绊倒。

让我用一个富有哲理的口号开启我们的讨论吧:一根吸管上有2个洞,但它们是同一个洞。

来源:中信

编辑/韩世容

最新评论