在1900年巴黎举行的第二届国际数学家大会上，希尔伯特教授，当时的世界头号数学家，把康托尔的超穷数 誉为“数学天才的最杰出的产物”和“在纯智力领域人类能动性 的最美成就之一”。
引用切斯特顿的一段话：“诗人不会发疯，但国际象棋选手会；数学家、出纳员会发疯，但有创造力的艺术家很少会。我不是在攻击逻辑——我只是说这种危险不是在想象中，而确实存在于逻辑中。”还有从最新的康托尔通俗传记中摘录的一段胡吹的话：“19世纪后半期，一位非凡的数学家在 一家精神病医院里冥思苦想……他离他所寻求的答案越近，答案就好像跑得越远。最后它使他发疯了，就像他之前的数学家一样。”
伟大的数学家患有精神病的这些案例让现代流行作家和电影制作者产生了巨大的共鸣。这与作家和导演自己的偏见和接受能力有极大的关系，反过来又塑造出带有我们时代原型色彩的人物样板。不用说这些样板是随时代而变的。患精神病的数学家现在在某些方面似乎就是其他时代的游侠骑士、苦行的圣徒、受折磨的艺术家和发疯的科学家：某种普罗米修斯式的人物，付出个人的代价去奥林匹斯山给人类带来火种。至少在大多数的例子中，这都有些吹嘘过头。但康托尔比其他绝大多数人都更胜任这个样板。不管他的精神问题和症状是什么，更令人感兴趣的是他更胜任的原因。
仅仅知道康托尔的成就和能够欣赏它们是完全不同的。后者是本文的主要目的。欣赏它们时可以把超穷数学看成某种树一样的东西。这棵树根植于古希腊连续性和不可通约性的悖论中，它的分枝缠绕在数学基础之上的现代危机中——布劳威尔、希尔伯特、罗素、弗雷格、策梅洛、哥德尔和科恩等。这棵树现在 远比这些名字重要，是读者要记在心里的一种全局性的比喻。
切斯特顿上面的话有个地方是错误的，至少不精确。他想要指出的危险不是逻辑。逻辑只是一种方法，而方法不会使人们失常。切斯特顿真正想谈论的是逻辑的，也是数学的一个主要特征———抽象性和抽象概念。
弄清“抽象”的含义对我们是有帮助的。它也许是欣赏康托尔工作重要性和知识背景的最重要的一个词。从词源上看，词根来自拉丁文的形容词（被抽取的）。这个词在《牛津英语词典》中有九个主要的定义。最适合的是４ａ：“从物质、具体材料、实际或特定的例子中抽取或分离，与‘具体’的意义相反。”相关的释义还有４ｂ：“理想的，提炼出本质。”４ｃ：“深奥的。”
下面是一段引自博耶的话，他在某种程度上是数学史中的吉本：“但到底什么是整数呢？在 试图定义或者解释整数之前，每一个人都以为自己知道整数，比 如‘３’，是什么。”如果和小学一二年级的数学老师谈论这个问题，我们会发现小孩实际上是如何学习整数概念的，并对我们很有帮助。比如说，数字“５”是什么？首先，他们会给５个东西， 比如说橘子，某些他们能触摸或抓住的东西。老师要求他们数一数这些东西。然后，他们就产生５个橘子的印象。之后，５个橘子和数字“５”连在一起的印象使他们能将两者关联起来。最后，去掉橘子只剩下“５”的概念。这之后，孩子们就做些口语练习，开始脱离５个橘子谈论整数“５”本身。换句话说，大人有系统地糊弄或启发他们，把数字当成事物而不是事物的符号。接下来，他们学习算术，包括数字之间的基本关系运算（注意，这和我们学习语言的方式是并行的。我们很早就学了名词“５”的意思是整数５，并是它的符号标识。如此等等）。
有时候，有些小孩对老师所说的有些困扰。一些小孩明白名词“５”代表５，但他们还是想知道“５”是什么？５个橘子，５个硬币，５个点？这些小孩在增减橘子或硬币时毫无问题，然而在算术测验时表现很差。他们不会把５本身作为一个对象，因而经常退化到特殊教育数学。这种数学里，所有的东西都是根据际物体的群、集合来学习的，而不是作为从“特例中抽取出来”的数字。
关键之处是：“抽象”的基本定义“从具体的特性，感性经 验中剥离或超越”，和我们的目的有点关联。如果只从这个定义来看，“抽象”就是形而上学中的一个术语。实际上，“抽象”在所有数学理论中，隐含着某种形而上学的立场。数学中的抽象之 父是毕达哥拉斯；正如纯粹哲学的抽象之父是柏拉图。
虽然《牛津英语词典》中的其他释义不是毫无关联的，但是现代数学是抽象的不只是因为它极其深奥晦涩，经常难以看完一页。“抽象”在数学上更本质的意义就是，抽象化某种东西意味着把它归结到最基本的层面，就像一篇文章或一部书的摘要一样。在这个意义上，它就意味着努力思考对大多数人来说无法努力思考的事物——因为这使他们发疯。
上面这些才只是热热身，抽象的问题还不仅如此。借用两段杰出人物的话，其一来自菲利克斯·克莱因： “希腊人对数学真正概念的伟大贡献之一是清醒地认识到并强调：数学实体是抽象，是头脑中流动的概念，它们完全不同于物理对象或图像。”另一个来自索绪尔：“哲学家和逻辑学家所忘记的是，从一个符号系统独立于它所指代的物体开始，它本身就发生了逻辑学家所无法估量的飞跃。”
大家都知道，抽象引发了各种各样令人头痛的问题。部分的危险在于如何使用名词：人们根据符号来想起名词的含义，名词代表事物———人、课桌、钢笔、李四、头、阿司匹林。当困惑于一个真正的名词是什么时，比如“谁是第一个”，或者《爱丽丝漫游仙境》中的那些家喻户晓的对话：“你能看见路上有什么东西？”“没有什么。”“多么好的视力啊！‘没有什么’看起来像什么？”这时就会产生一种特别的喜剧效果。虽然当名词是抽象名词，也就是一般的概念从特殊的例子中分离时，喜剧效果往往消失。许多这样的抽象名词来自动词词根，比如“运动”（motion） 和“存在”（existence）。我们随时都在使用这样的单词。当我们 试图弄清它们的准确含义时，麻烦就来了。这类似于博耶对整数的观点。“运动”和“存在”所真正表示的是什么呢？我们知道具体事物的存在，也知道它们有时在运动。但“运动”本身存在吗？以什么方式？抽象名词以什么方式存在？
当然，最后一个问题本身也是非常抽象的。现在你可能开始感到头痛了，对这类东西有种特别不舒服或不耐烦的情绪，比如 “准确地说，存在是什么？”或“当我们谈论运动时，我们所指的确切含义是什么？”这种不舒服是非常有特色的，并且只存在于某一层次的抽象过程中——抽象有不同的层次，这有点像幂次或维数。例如，“人”指某一特定的人时是第一层次，“人类”指某一种类时是第二层次，而指“人性”时是第三层次。这个层次所谈论的是某种抽象标准，即使人之所以成为人的某种东西，如此 等等。这种思考方式可能是危险的、奇怪的。请足够抽象地思考 任何东西……我们肯定都有过这样的经历：思考一个单词，比如 说“笔”，并反反复复对自己说这个单词，直到它不再有所指代。称呼某件东西为一支笔的奇怪之处开始缓慢地强加于我们的意识，就像一个癫痫患者的先兆。
你可能知道，我们现在称为分析哲学的很多东西都是和第三层次，甚至第四层次相关的问题。比如，认识论中的“知识是什么？”；形而上学中的“精神构造和现实世界物体的关系是什么？” 等等。哲学家和数学家花大量的时间抽象地思考，或思考抽象本身，或两者都思考，也许只有他们才真的容易得精神病。或者也许只是容易得精神病的人更倾向于思考这类问题。这是个鸡和蛋的问题。不过，有件事情是肯定的——这完全是个谜——人为什么天性好奇，对真理如饥似渴，尤其重要的是想知道。就 “想知道”的受认可的意义来说，实际上有很多东西我们不想去知道。证据就是有许许多多基本的问题我们不愿意抽象地思考。
理论：抽象思考的恐惧和危险是为什么我们现在都喜欢保持忙忙碌碌，随时都在自我鼓舞的一个重要原因。抽象思维总是在安静地憩息时突然来袭。譬如，每天早晨起床后，你不会怀疑地 板在支撑着你。突然有一天早晨，你在闹钟响之前醒了，突如其来没有理由地怀疑地板能否撑住你。你躺在床上思考这个问题，似乎至少在理论上地板的结构或它的分子组成上的某个裂缝会使它扭曲变形，甚至某些异常的量子流或其他什么东西会让你熔化 并穿过地板，也就是说这在逻辑上好像是可能的。这不是说你真的害怕在你起床的那一刻地板会陷沉，我也并不关注你起床后的需求或义务，我只是想说明某些心境或思路是很抽象的。这只是一个例子。你躺在那里思考着是否真的认为自己对地板的信心是有理由的。最初的肯定回答在于这一事实：你在成千上万个早上起床后，每一次地板都是那么坚实地支撑着你。这和你坚信太阳 每天升起，你的老婆知道你的名字，以及当你鼻子发痒时就要打喷嚏的道理一样。因为这些事情以前都反反复复地发生过。这里所涉及的原理是我们能预测这类我们只自动计数，而不作思考的现象的唯一方法。大部分的日常生活都是由这些现象组成的。没 有这种基于过去经验的自信，我们都将精神错乱，或者至少不能正常生活，因为我们不得不停下来苦思每一件过去的小事情。事实就是：就我们所知，如果没有这种自信，生命就不可能。然而，问题依旧存在：这种自信是真的合理吗？还是只是图省事？这就是抽象思维，带着它特有的阶梯状上升曲线。你现在也要升高几个层次了，不能再仅仅思考地板和你的体重，也不能仅仅思考你一再的自信以及这种自信对于基本的生存是如何的必要。你现在思考的是一些更一般的规则、规律和原理，只有建立在这些一般性的规则、规律和原理之上，我们那种不假思索的自信在各种形式和强度上才是合理的，而不只是每天推着你前进的一系列阵挛性反应。抽象思维的另一个可靠的标志：你不需要肢体的运动。即便感觉花费了无穷的能量和努力，实际上你还是安安静静地躺着。所有这些都只是在你的头脑里运转。这非常奇怪，也难怪大多数人不喜欢它。你应该突然明白为什么精神病人经常表现出使劲抓头或者往什么东西上撞的症状。但是，如果在学校已经上过相关的课程，你也许能想到这样的规则或原理确实存在——它的学名是归纳原理（Principle of Inducion,=P.I.）。它是现代科学的基本法则，没有归纳原理，科学实验连一个假设也证实不了，人们也没有信心去预测物理世界中的任何事情，也就不可能有自然规律或科学真理。P.I.的意思是：如果某件事情ｘ在特定的条件下已经发生了ｎ次，那么我们有理由相信，在同样的条件下ｘ将发生第ｎ+1次。这个原理令人肃然起敬，让人信赖。而且，它好像是整个问题的光明出口。不过在这之前，突然你的脑 袋里蹦出个想法（通常只发生在非常抽象的心境下，或者在闹钟 响之前那段非常奇妙的时间里）：P.I.自身也只是从经验中抽象出来的……所以，现在的问题是，我们如此信赖P.I.的理由是什么呢？这个想法也许来自小时候在一位亲戚的农场里度过的几个星期里留下的一段具体的记忆（说来话长）。亲戚在隔车库不远的铁丝笼里养了四只公鸡，最聪明的就叫切肯先生。每天早上，农场的雇工拿着一只麻布袋出现在铁丝笼边时，切肯先生就开始激动起来，开始热身似地啄地，因为它知道现在是进食时间——每天早上都差不多在同一时间ｔ左右。 切肯先生已经懂得在ｔ时刻（人＋麻布口袋）＝食物。因此，在最后一个星期天的早晨，它照样信心满满地啄地。这时，雇工突然伸进手来抓住切肯先生，用一个潇洒的动作扭断它的脖子，把它丢在麻布袋里，带到厨房。这样的一些亲身经历的记忆会非常生动地保留下来。躺在床上仔细思考这些问题，会强烈地刺痛你。因为根据归纳原理，切肯先生显然是正确的：在时间ｔ，人和口袋的第ｎ+1次出现时所期望得到的是早餐。切肯先生不仅 没有怀疑这些事，而且完全有信心认为不用怀疑。然而，其下场 确实有点令人心生警惕和不安。看来迫切需要找到某种更高层次的理由来维护对P.I.的信心。你意识到没有这种理由，我们自己的处境和切肯先生基本上没有什么区别。但结论似乎是抽象的和不可避免的：我们相信P.I.的理由正是它在过去一直有效，至少到现在为止还是这样。这就意味着我们信赖P.I.的唯一真正的理由就是P.I.自身。这看起来不堪一击，又回到问题本身。
选自《穿过一条街道的方法：无穷大简史》作者： [美] 大卫•福斯特·华莱士 著 胡凯衡 译；出版时间：2021-11；出 版 社：广东人民出版社
来源：广东人民出版社
编辑/韩世容
